一眼看清函数的形状
像 y = x^2 - 3x + 2 这样的公式,只看符号很难想象。画出来就能立刻看到抛物线、与 x 轴的交点以及最小值的位置——这往往是理解函数到底在做什么的最快方式。
实用指南
函数作图是一款免费、在交互式坐标平面上绘制函数、方程和不等式的浏览器工具。输入像 x^2、sin(x) 或 2*x + 1 这样的表达式,曲线就会立刻画出来;你可以用不同颜色叠加多个函数,拖动平移视图,滚动滚轮围绕光标缩放,并用 trace 功能读出精确坐标。表达式由 mathjs 库在本地解析和计算,再绘制到 SVG 画布上,所以你输入的内容不会上传到服务器,页面加载完成后即使离线也能继续使用。当你还需要某个点背后的精确数值时,可以在旁边打开科学计算器。
适用场景
检查作业、抓出错误
把答案和原题画在一起,符号错误、漏掉的根、错误的斜率都会一目了然。如果曲线没有经过你预期的点,通常是代数变形需要再检查。
现场演示概念
老师和家教可以改一个系数,实时看着曲线移动,让斜率、截距、周期和振幅这些概念在讲课或屏幕共享时变得直观具体。
同时对比多个函数
把一个函数和它的变换一起画——例如 sin(x) 和 sin(2*x),或 x^2 和 (x-1)^2 + 3——就能清楚看到平移、拉伸或翻转如何改变图像。每个表达式都有自己的颜色。
给不等式上色
把运算符从 = 切换为 <、>、≤ 或 ≥,就会画出不等式的解区域而不是单条曲线;严格不等式用虚线边界,≤ 和 ≥ 用实线边界。
读出某一点的精确值
trace 输入框会在你选定的 x 处计算所有可见函数,并列出对应的 y 值,于是像 f(2.5) 等于多少这样的问题,不用离开图像、也不用手算就能回答。
函数作图 使用方法
- 1输入一个关于 x 的函数用 x 作为变量输入表达式——例如 x^2、sin(x)、sqrt(x)、1/x 或 2*x + 1。图像随输入实时更新,表达式有误会就地提示,而不会让整张图崩掉。
- 2选择方程或不等式点击运算符按钮在 =、<、>、≤、≥ 之间循环。= 画曲线;四个不等式给满足条件的区域上色。
- 3添加并着色更多函数用 Add function 叠加新的一行。每行都有可循环的色块、一个隐藏而不删除的眼睛图标,以及一个移除该行的垃圾桶图标。
- 4平移和缩放来取景在画布内拖动以移动视图,滚动滚轮围绕光标放大或缩小。需要特定窗口时,把精确边界填进 X range 和 Y range 输入框。
- 5使用缩放预设ZStandard 回到 -10..10,ZTrig 为三角函数设定 ±2π 配 ±4 的窗口,ZDecimal 给出 ±1 的特写,ZSquare 调整 Y 范围让圆看起来是圆而不是被拉扁。Reset 恢复默认视图。
- 6用 trace 读精确值在 Trace 框里输入一个 x 值,按 Enter 或十字按钮。工具会在该 x 处计算所有可见函数并把结果压入列表,保留最近十次查询,直到你清空。
实用提示
表达式语法
用 ^ 表示乘方(x^2),用 * 表示乘法(2*x,不过 2x 也可以),用括号分组。常数 pi 和 e 都能识别,常见函数包括 sin、cos、tan、sqrt、abs 和 exp。
log 是以 10 为底,ln 是自然对数
在本工具里 log 表示以 10 为底的对数,ln 表示自然对数(以 e 为底)。这和大多数课堂的写法一致,所以要自然对数时请写 ln(x) 而不是 log(x)。
渐近线会被自动处理
像 1/x、tan(x) 或 log(x) 这类有断点的函数会被采样并切成连续的小段,所以曲线不会用一条竖线跨过渐近线,也不会连接函数无定义的区间。
图形被拉变形时用 ZSquare
因为画布宽大于高,圆或 45 度的直线在平移后可能看起来变形。ZSquare 会把 Y 范围重新缩放为 1:1 的纵横比,让几何图形显示正确。
缩放有合理上限
缩放被限制在可见范围 1 到 10000 之间,以保持网格清晰。需要超出这个范围或精确的窗口时,直接把数字填进 X range 和 Y range。
开关与暗色模式
可以分别隐藏网格、坐标轴或刻度数字,让截图更干净;整张图会跟随浅色或深色模式,坐标轴和标签在两种背景下都保持清晰可读。
从公式到清晰的图像
先画出表达式看清形状,再读出需要的精确数值,并在作图前把实际数据换算成正确的单位或进制。
常见问题
可以画哪些函数和运算符?
任何 mathjs 能识别的、关于 x 的单变量表达式:乘方(x^3)、根号(sqrt(x))、三角函数(sin、cos、tan)、对数(log 以 10 为底,ln 自然对数)、指数(exp(x))、绝对值(abs(x)),以及 +、-、*、/ 和括号运算。常数 pi 和 e 已内置。
怎么画不等式?
点击表达式旁的运算符按钮,从 = 切到 <、>、≤ 或 ≥。这时工具会给满足不等式的区域上色,而不是画一条线。严格不等式(< 和 >)用虚线边界,≤ 和 ≥ 用实线边界。
能同时画多个函数吗?
可以。用 Add function 想加多少行就加多少行。每行有自己的颜色,可用眼睛图标隐藏、用垃圾桶图标删除,很方便把一个函数和它的变换放在一起对比。
这里的 log 和 ln 有什么区别?
log 是以 10 为底的对数,ln 是自然对数(以 e 为底)。工具覆盖了库的默认设置,让函数名符合标准数学写法。
如何求某个 x 处的 y 值?
在 Trace 框输入 x 值,按 Enter 或点十字。工具会在该点计算所有可见函数,并按颜色列出每个 y 值,最近十次查询会保留在一个可随时清空的列表里。
能处理像 1/x 或 tan(x) 这种有渐近线的函数吗?
能。函数会在整个视图上采样并切成连续段,所以渐近线或函数无定义的区域会留下干净的空隙,而不是一条会造成误解的竖线。
我输入的内容会发到服务器吗?
不会。表达式完全在你的浏览器里解析、计算和绘制。没有任何东西被上传,页面加载之后即便断网也能继续使用。
能画竖直线 x = 3 或完整的圆吗?
工具画的是关于 x 的函数,每个 x 对应一个 y,所以无法用单个方程画竖直线或完整的圆。可以用上下两半来近似一个圆,例如 sqrt(1 - x^2) 和 -sqrt(1 - x^2)。
为什么在图上滚动是缩放而不是滚动页面?
画布会拦截鼠标滚轮以便围绕光标缩放。把指针移出图像即可正常滚动页面,或者用 X range 和 Y range 输入框来设定视图而无需滚动。
在手机上和离线时能用吗?
能。界面对触摸屏做了自适应,而且因为所有计算都在本地进行,首次加载之后即使没有网络,图像也照常工作。